Соревнования по подтягиванию
Ответ на загадку:
Выпишем данные, полученные девочками, и пронумеруем их. Наташа
1) Тима подтянулся 4 раза.
2) Валера подтянулся на 2 раза больше Тимура.
3) Рома и Валера вместе подтянулись на 16 раз больше, чем Тимур.
4) Рома подтянулся большее число раз, чем Валера и Тима вместе.
Катя
1) Валера не подтянулся ни разу.
2) Рома подтянулся больше десяти раз.
3) Тима и Рома подтянулись на перекладине разное количество раз.
4) Валера и Рома подтянулись вместе 26 раз. Маша
1) Тима — лучший спортсмен из всех.
2) Валера подтянулся на 6 раз больше Романа.
3) Валера подтянулся несколько раз.
4) Рома и Тима подтянулись одинаковое количество раз.
Для решения данной задачи составим таблицу, в которой будем отмечать, какое из высказываний девочек верно, а какое нет. В таблице именам девочек будут соответствовать начальные буквы, а цифрами обозначим номер;! из высказываний.
1 2 3 4
н .5— 5+ 5+ 3—
к 2— 4+ 4+ 4—
м 1 — 3+ 3+ 3—
Истинное утверждение будем обозначать знаком «-Ь», неверное — знаком «—», а цифрой рядом со знаком — номер рассуждения.
Рассуждение 1
Рассмотрим 1-е утверждение Маши. Допустим, что оно верно. Тогда, принимая его во внимание, разберем утверждения Наташи. По ее четвертому сообщению Рома подтянулся большее число раз, чем Тима и Валера. Значит, Рома должен был подтянуться по крайней мере больше, чем Тима, что противоречит нашему предположению. Выходит, что 4-е сообщение Насини неверно. Неверно и 2-е высказывание Наташи, так как оно противоречит нашему предположению о том, что Тима подтянулся больше всех. Ошибочно также еще одно из двух ее утверждений — 1-е или 3-е. Так как если бы Тима подтянулся 4 раза, то Рома и Валера вместе смогли бы подтянуться максимум 6 раз, т. е. они бы не подтянулись вместе на 16 раз больше, чем Гима (по 3-му высказыванию Наташи). Если верно 3-е ее высказывание, то неверным бы оказалось 1-е. Таким образом, при нашем предположении о том, что Тимур — лучший спортсмен, количество ошибок у Наташи оказалось бы больше двух, что противоречит условиям задачи (каждая из девочек ошиблась не более двух раз).
Значит, Тима — не лучший спортсмен и 1-е утверждение Маши ошибочно. Отметим это положение в таблице. Рассуждение 2
Рассмотрим 1-е утверждение Кати. Валера не подтянулся ни одного ра-i.i. Также предположим, что оно верно, и, согласуясь с ним, рассмотрим
утверждения Маши.
И во 2-м и в 3-м ее утверждениях говорится, что Валера подтянулся некоторое количество раз. Учитывая, что 1-е высказывание Маши неверно (это показано в рассуждении 1), получается, что Маша ошиблась более двух ри ¦ что противоречит условиям задачи. Поэтому 1-е утверждение Кати о шм, что Валера не подтянулся ни одного раза, ошибочно. Отметим это и габли це.
Рассуждение 3
Рассмотрим 4-е предположение Маши. Рома и Тима подтянулись о…..II
ковое количество раз. Предположим, что оно верно.
Тогда 3-е высказывание Кати о том, что Тима и Рома подтянулись pa i ное количество раз, неверно. Так как является ошибочным и 1-е высказыв! ние Кати (см. рассуждение 2), а по условию каждая из девочек ошиблась HI более двух раз, то 2-е и 4-е высказывания Кати будем считать верными. II i ее сообщений получается, что Рома подтянулся больше 10 раз, а Валер I с Романом вместе подтянулись 26 раз. На основании этих положений ра< смотрим высказывания Наташи.
С учетом всего вышесказанного устанавливаем, что ее высказывание ошибочно, так как Тима подтянулся на перекладине столько же, сколько и Рома, т. е. не 4 раза, а больше 10. Рассмотрим ее 3-е высказывание: Ром| и Валера вместе подтянулись на 16 раз больше Тимура.
Так как Рома и Валера имеете подтянулись 26 раз, то выходит, что Ти ма подтянулся 10 раз. Но Тимур выполнил упражнение более десяти pa I
Это означает, что 3-е высказывание Наташи ошибочно.
Из ее 4-го утверждения следует, что Рома подтягивается больше, чем Тима и Валера вместе, т. е. Рома подтягивается большее количество раз ПО сравнению с Тимуром. Значит, и 4-е высказывание Наташи неверно.
Таким образом, если принять, что Рома и Тима подтянулись одинаковое количество раз, то Наташа ошиблась при подсчете более двух раз, а ЭТО противоречит условию.
Становится ясно, что наше предположение о равенстве количеств подтя гивапий Ромы и Тимы ошибочно и 4-е утверждение Маши неверно. Отметим этот результат в таблице.
Памятуя о том, что каждая из девочек ошиблась в своих высказываниях не более двух раз и что Маша ошиблась в 1-м и 4-м утверждениях (это было показано выше), делаем вывод о правильности утверждений Маши с номерами 2 и 3.
Так как Валера подтянулся на 6 раз больше Ромы, то 4-е утверждение Наташи будет неверно. Отметим и этот факт в таблице.
Рассуждение 4
Рассмотрим 4-е высказывание Кати. Валера и Рома подтянулись вместе 26 раз. Так же как и ранее, предположим, что оно истинно.
Нам достоверно известно, что Валера опередил Романа на 6 раз. Тогда согласно нашему предположению Валера подтянулся 16 раз, а Рома — 10.
Рассмотрим высказывания Наташи. Из предыдущего рассуждения ее 4-е утверждение неверно. Из 3-го получается, что Рома и Валера вместе подтянулись на 16 раз больше, чем Тима. При таком положении вещей Тимур должен был подтянуться 10 раз, столько же, сколько и Рома. Но известно из рассуждения 3, что оба эти мальчика показали неодинаковые результаты. Значит, 3-е утверждение Наташи неверно. Далее можно утверждать, что по крайней мере из двух ее положений или 1-е, или 2-е тоже ошибочно, так как если Тима подтянулся 4 раза, то Валера не мог подтянуться только 6 раз; если же верно 2-е ее утверждение, то по нему Тимур должен был подтянуться 14 раз и будет неверным 1-е ее высказывание.
Таким образом, если верно предположение о том, что Валера и Рома вместе подтянулись 26 раз, то Наташа ошиблась в своих подсчетах более двух раз, а это противоречит условиям задачи.
Путем всех этих рассуждений определяем ошибочность 4-го высказывания Кати, о чем и сделаем пометку в таблице.
Окончательно устанавливаем правильность ее 2-го и 3-го высказываний. Рассуждение 5
Рассмотрим 1-е высказывание Наташи: Тима подтянулся 4 раза. Положим, что оно верно.
Тогда по ее 2-му утверждению имеем, что Валера подтянулся 6 раз. Но, как нам уже известно, Валера выполнил упражнение на перекладине на 6 раз больше, чем Рома, а тот, в свою очередь, подтягивается более 10 раз. Значит, 2-е утверждение Наташи неверно.
Рома и Валера вместе подтянулись более 26 раз. По 3-му сообщению Наташи получаем, что Тима должен был подтянуться более 10 раз, что противоречит нашему предположению. Неверным является и 4-е Наташино утверждение (из рассуждения 3),
Становится ясно, что Тимур не мог подтянуться только 4 раза — это привело бы к тому, что Наташа в своих высказываниях ошиблась бы более двух раз, что невозможно.
Таким образом, Наташа ошиблась в 1-м и 4-м, а правильно утверждала во 2-м и 3-м своих высказываниях.
Таблица истинности утверждений девочек заполнена, и мы можем теперь определить количество подтягиваний Романа, Тимура и Валерия. Валера подтянулся на 2 раза больше, чем Тимур. Валера и Роман вместе подтянулись на 2 раза больше, чем Тимур и Роман.
Валера и Рома вместе подтянулись на 16 раз больше Тимура. Поэтому Тима и Рома подтянулись на 14 раз больше, чем Тима. Отсюда Рома подтянулся 14 раз, Валера — на 6 раз больше, или 20 раз, а Тимур — на 2 раза меньше Валеры, или 18 раз.